Por que a palavra asilo se escreve com "s" e não com "z"

Há dois motivos.
O principal é o histórico, que busca-se manter a tradição da palavra. Esse respeito à origem da palavra a sua tradição é também adotado por outros idiomas. Assim como a origem de asilo é do latim Asylum com "s" todos os idiomas que adotarem essa palavra também a escreverão com "s".
Por isso usam-se "s" e não "z".
Em inglês: Asylum
Em espanhol: Asilo
Em francês: Asile
E até em alemão se usa s: Asyl
Porém essa regra da tradição nem sempre é adotado para todos os termos da língua nem para todos os idiomas,
A exemplo de "humano" que em italiano é escrito "umano" sem usar o "h" histórico como o mantemos em português.
O outro motivo é para se usar "s" e não "z" em asilo é por uma observação de que "quase" sempre se usa "s" e não "z" no meio (entre) de duas vogais como em: asa, mesa e riso.